دانشجویان ریاضی امیرکبیر ۸۸

اخبار دانشکده

حد و پیوستگی

تعریف حد

مقدار ثابت a حد متغیر x است هرگاه به ازای هر عدد مثبت کوچک که قبلا به طور مشخص تعیین گردیده است بتوان مقداری از متغیر x را چنان تعیین کرد که جمیع مقادیر در نامساوی صدق کند.
اگر a حد متغیر x باشد گوییم متغیر x به سوی حد a میل می‌کند و بر حسب قرداد آن را به یکی از صورتهای زیر می‌نویسیم:



تعبیر هندسی حد

مقدار ثابت a حد متغیر x است (یعنی L=a) هرگاه برای هر همسایگی کوچک که مرکز آن a و شعاع آن و است و این همسایگی قبلا بطور غیر مشخصی تعیین گردیده است مقداری از x را چنان تعیین نمود که جمیع نقاط متناظر به مقادیر بعدی متغیر در داخل این فاصله قرار گیرند.

خواص حد

  • مقدار ثابت c متغیری است که جمیع مقادیر آن بر یکدیگر منطبق است یعنی x=c. واضح است که حد مقدار ثابت c برابر c است زیرا همواره برای هر عدد مثبت و دلخواه نامساوی زیر برقرار است:

  • از تعریف حد نتیجه می‌گردد که متغیر نمی‌تواند دارای دو حد باشد زیرا اگر و باشد در این صورت متغیر x باید در یک زمان در دو نامساوی و صدق کند. ولی اگر باشد خواهیم دید که این امر امکان ندارد.
  • نباید تصور نمود که هر متغیر دارای حد می‌باشد.

حد یک تابع

فرض می‌کنیم تابع در همسایگی معینی از نقطه a و یا در برخی نقاط این همسایگی معین باشد. اگر x به سوی a میل کند تابع به سوی حد b میل خواهد نمود، هرگاه به ازای هر عدد مثبت کوچک بتوان عدد مثبتی مانند غیر از a یافت به قسمی که جمیع مقادیر x که در نامساوی صدق می‌کنند در نامساوی نیز صدق کنند.
اگر b حد تابع هنگامیکه باشد در اینصورت خواهیم نوشت:

قضایایی درباره حد

  • اگر m و b و a سه عدد دلخواه باشند و ، آنگاه


  • قضیه حد مجموع: حد مجموع دو تابع برابر مجموع حدهای آن دوتابع است، مشروط بر اینکه حدها وجود داشته باشند.
  • قضیه حد حاصلضرب: حد حاصلضرب دو تابع مساوی حاصلضرب حدهای آنهاست، مشروط بر اینکه حدها وجود داشته باشند.
  • قضیه حد تفاضل: حد تفاضل دو تابع مساوی تفاضل حدهای آن دو تابع است، مشروط بر اینکه حدها وجود داشته باشد.
  • حد حاصلضرب یک عدد ثابت در یک تابع ، برابر است با حاصلضرب آن عدد ثابت در حد آن تابع.
  • حد خارج قسمت دو تابع ، خارج قسمت حدهای آنهاست به شرطی که مخرج به صفر نگراید.

این ویژگیها برای حدهای راست و برای حدهای چپ نیز صادق است.

  • اگر و ، آنگاه:

  • اگر f و g به ازای جمیع مقادیر x در نامساوی صدق کنند. اگر f و g در x=a حد داشته باشند، آنگاه


  • قضیه حد تابع مرکب: اگر تابع g در دارای حد a و تابع f در a دارای حد A باشد. به علاوه ، اگر در همسایگی از داشته باشیم ، آنگاه تابع مرکب fog در دارای حد A است.

حد در بی‌نهایت

  • تابع f و عدد L مفروض‌اند. اگر باشد، آنگاه L را حد تابع f ، وقتی x به سمت بی‌نهایت مثبت میل می‌کند، می‌گویند.
  • تابع f و عدد L مفروض‌اند. اگر باشد، آنگاه ، L را حد تابع f ، وقتی x به سمت بی‌نهایت منفی میل می کند، می‌گویند.
  • تابع f و عدد L مفروض‌اند. اگر باشد، آنگاه ، L را حد تابع f ، وقتی x به سمت بی‌نهایت میل می‌کند، می‌گویند.

حدهایی که بی‌نهایت می‌شوند

  • برای تابع مفروض f ، اگر باشد، آنگاه ، حد تابع f را ، وقتی x به سمت a میل کند، بی‌نهایت مثبت می‌نامیم.
در این حالت نمی‌توان گفت f در x=a حد دارد، زیرا مثبت بی‌نهایت یک عدد حقیقی نیست.
  • برای تابع مفروض f ، اگر باشد، آنگاه ، حد تابع f را ، وقتی x به سمت a میل کند، بی‌نهایت منفی می‌نامیم. در این حالت نمی‌توان گفت f در x=a حد دارد، زیرا منفی بی‌نهایت یک عدد حقیقی نیست.

تعریف پیوستگی

تابع f را در x=a پیوسته می‌نامیم هرگاه سه شرط زیر برقرار باشد:

  1. تابع f در نقطه a وجود داشته باشد، یعنی a تعلق به دامنه f باشد.
  2. حد تابع در نقطه a وجود داشته باشد.
  3. حد تابع در نقطه x=a برابر باشد.
اگر هر یک از سه شرط بالا در x=a برقرار نباشد، f را در a ناپیوسته می‌‌نامیم. در این صورت a را یک نقطه ناپیوستگی f نیز می‌خوانیم.

مفهوم پیوستگی

تابعی مانند که بتوان نمودار آن را در هر بازه‌ای از دامنه‌اش با حرکت پیوسته نوک قلم رسم کرد، مثالی از یک تابع پیوسته است. ارتفاع نمودار این تابع در طول بازه به طور پیوسته با x تغییر می‌کند. در هر نقطه داخلی دامنه تابع ، مانند c در شکل زیر ، مقدار تابع ، ، حد مقادیر تابع در هر یک از دو طرف است؛ یعنی

مقدار تابع در هر نقطه انتهایی نیز ، حد مقادیر تابع در نزدیکی آن است.

در نقطه انتهایی چپ a

در نقطه انتهایی راست b

پیوستگی در مورد اعمال جبری

اگر توابع f و g در x=a پیوسته باشند، آنگاه:
  1. حاصلجمع دو تابع f و g در x=a پیوسته است.
  2. تفاضل دو تابع f و g در x=a پیوسته است.
  3. ، به ازای هر عدد ثابت c ، در x=a پیوسته است.
  4. حاصلضرب دو تابع f و g در x=a پیوسته است.
  5. خارج قسمت دو تابع یعنی به شرطی که در x=a پیوسته است.
  6. قدرمطلق هر یک از این دو تابع در x=a پیوسته است.

ویژگیهای مهم پیوستگی

  • یک چند جمله‌ای از x همواره در تمام نقاط اعداد حقیقی پیوسته خواهد بود.
  • هر تابع گویا در تمام نقاط قلمرو خود پیوسته خواهد بود.
  • اگر تابع f در a پیوسته باشد، آنگاه ریشه n ام برای همه اعداد صحیح و مثبت n در x=a پیوسته خواهد بود.
  • اگر تابع g در a و تابع f در پیوسته باشد، آنگاه ترکیب دو تابع f و g در a پیوسته خواهد بود.

پیوستگی روی بازه باز و بسته

  • اگر تابع f در همه نقاط یک بازه پیوسته باشد، f را روی آن بازه باز پیوسته می‌نامیم. اگر fحداقل در یک نقطه از بازه باز پیوسته نباشد، f را روی این بازه باز ناپیوسته می‌نامیم.
  • تابع f را روی بازه بسته پیوسته می‌نامیم، اگر در سه شرط زیر صدق کند:
  1. f روی بازه باز پیوسته باشد.
  2. حد تابع در نقطه برابر باشد.
  3. حد تابع در نقطه برابر باشد.
اگر هر یک از سه شرط بالا برقرار نباشد، f را روی بازه بسته ناپیوسته می‌نامیم.

پیوستگی توابع مثلثاتی

توابع و روی اعداد حقیقی پیوسته‌اند. اما توابه تانژانت و کتانژانت به ازای ریشه‌های مخرج ناپیوسته‌اند.

کاربرد توابع پیوسته در سایر علوم

توابع پیوسته را به این دلیل مطالعه می‌کنیم که در ریاضیات و رشته‌های کاربردی مفیدند. می‌دانیم که هر تابع پیوسته ، مشتق تابع دیگری است. مثلا ، اگر فرمولی مانند برای سرعت یک جسم متحرک به عنوان تابع پیوسته از زمان در دست باشد، فرمولی چون را به دست می‌آوریم که بگوید در هر لحظه ، جسم از نقطه شروع حرکت چقدر دور شده است. با استفاده از توابع پیوسته می‌توان قضایای ماکسیمم - مینیمم ، قضیه مقدار میانگین و ... را نیز می‌توان یافت.

اکسترمم


اگر تابع f در نقطه ای مانند a دارای Max نسبی یا Min نسبی باشد گوئیم تابع f در نقطه a اکسترمم نسبی دارد و f(a) را مقدار اکسترمم نسبی تابع f و نقطه a را نقطه اکسترمم تابع f می گوئیم.

دید کلی

بنابراین منظور از اکسترمم نسبی ، Max یا Min نسبی می باشد پس تعریف Max نسبی و Min نسبی ضروری به تظر می رسد:

تعریف Max نسبی و Min نسبی

تابع f و یک همسایگی از آن را روی نقطه a به صورت N(a, ) در نظر می‌گیریم به طوری که تابع f در این همسایگی تعریف شده باشد. اگر به ازای هر x N(a, ) داشته باشیم f(x) f(a) آنگاه f(a) را مقدار Max نسبی تابع در نقطه a می نامیم.
به همین ترتیب هرگاه در همسایگی فوق برای نقطه b به ازای هر رابطه f(x) f(b) صدق کند f(b) را مقدار Min نسبی تابع f در نقطه b می نامیم.
توجه می کنیم کلمه نسبی در تعاریف فوق به این علت است که ما رفتار تابع را در یک همسایگی محذوف بررسی می کنیم نه در کل قلمرو تابع. به طوری که هرگاه روابط بالا به ازای تمام قلمرو تابع صادق باشند مقادیر f(a) و f(b) را به ترتیب Max مطلق و Min مطلق یا به عبارت دیگر سوپریمم (sup) و اینفیمم (inf) تابع f روی قلمرو فرد می گیریم و می نویسیم:

ساختار یا ساختمان

بررسی از نظر هندسی: همان طور که در شکل زیر مشاهده می شود تفاوت بین اکسترمم های نسبی و مطلق واضح و روشن است. با توجه به شکل فوق داریم: اکسترمم های مطلق روی بازه (a,b) اکسترمم نسبی نیز هستند در حالی که عکس این موضوع همیشه درست نیست.
اگر تابع f در نقطه ای مانند x=c که c عضو Df است اکسترمم نسبی داشته باشد و f'(c) . عکس مطلب فوق درست نیست. به عبارت بهتر در این ساختار توجه می کنیم ممکن است مشتق f در نقطه ای صفر باشد ولی f در آن نقطه اکسترمم نسبی نداشته باشد مثال بارز این مطلب تابع f(x)=x3 است روی نقطه x=0. با اینکه ممکن است تابعی در نقطه مفروضی از قلمرو خود دارای اکسترمم نسبی باشد بدون اینکه در آن نقطه دارای مشتق باشد مثل تابع f(x)=|x| که در نقطه x=0 دارای Min نسبی است ولی مشتق پذیر نیست.
کاربردها: مهمترین کاربرد مطالب فوق را می توان در قضیه میانی و نتیجه ای که از این قضیه می گیریم خلاصه نمود.

قضیه مقدار میانی

اگر f روی بازه بسته a,b پیوسته باشد و اگر N عددی بین f(a) و f(b) باشد آنگاه لااقل یک عدد مانند c بین a و b (a<=c<=b) وجود دارد به نحوی که:

f(c)=N


 

نتیحه قضیه مقدار میانی

اگر f روی بازه بسته a,b پیو.سته باشد و f(b)<=0. f(a) آنگاه لااقل نقطه ای مانند c (a,b) وجود دارد به طوری که f(c)=0
مانند نمودار زیر:


f(a)<0 f(b)>0 →f(a).f(b)<0→f(c)=0

 

مشتق

 

مشتق یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است. بوسیله مشتق میتوان برخی از مفاهیم فیزیکی (مانند سرعت و شتاب)با تعاریف ریاضی بیان نمود.
ااگر منحنی یک تابع را در فضای دو بعدی در نظر بگیریم بوسیله مشتق میتوانیم شیب خط مماس بر منحنی را در هر نقطه دلخواه بدست آوریم.همچنین با استفاده از مشتق میتوان خواص هندسی منحنی یک تابع مانند تقعر و تحدب را مشخص کرد.
البته باید به این نکته توجه کرد که هر تابعی در هر نقطه نمیتواند مشتق داشته باشد و به طور کلی مشتق پذیری یک تابع در یک نقطه شرایط خاصی میطلبد.

مشتق گیری و مشتق پذیری


در گذشته های نه چندان دور، مشتق یک تابع را به صورت زیر نشان می دادند:


که در این فرمولنشان دهنده میزان تغییرات یک کمیت است. ولی در حال حاضر برای محاسبه مشتق توابع،بیشتر از فرمول زیر استفاده میکنند:


معمولا از نمادهای زیر برای نشان دادن مشتق تابع f نسبت به متغیر x، استفاده میکنند:





یک تابع را در نقطه ای مانند x مشتق پذیر گویند اگردر آن نقطه مشتق موجود باشد. و برای مشتق پذیری تابع در یک بازه لازم است تابع در هر نقطه دلخواه از بازه مشتق پذیر باشد.اگر تابع در نقطه ای مانند c پیوسته نباشد آنگاه در c نمیتواند مشتق پذیر باشد.البته لازم به ذکر است که پیوستگی در یک نقطه وجود مشتق را تضمین نمیکند.مشتق یک تابع مشتق پذیر میتواند خود نیز مشتق پذیر باشد،که به مشتق آن مشتق دوم تابع گویند.مشتق مراتب بالاتر نیز به همین ترتیب تعریف میشوند.

بررسی مشتق از نظر هندسی

img/daneshnameh_up/1/12/momas22.gif


از نظر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه دلخواه ،شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است.البته پیدا کردن مستقیم شیب خط مماس در یک نقطه کار دشواری است.زیرا فقط مختصات یک نقطه از خط مماس را داریم.(برای پیدا کردن شیب یک خط از مختصات دو نقطه بر روی خط استفاده میکنیم)برای حل این مشکل از یک خط متقاطع استفاده کرده و این خط را به خط مماس نزدیک میکنیم.برای درک بهتر موضوع به شکل مقابل توجه نمایید.در این شکل خط متقاطع با رنگ بنفش و خط مماس با رنگ سبز مشخص شده است و عددی که در تصویر تغییر میکند نشان دهنده شیب خط متقاطع میباشد. حال از دیدگاه ریاضی این روش را بیان میکنیم:
از دیدگاه ریاضی بدست آوردن مشتق با حدگیری از شیب خط قاطع که به خط مماس نزدیک شده است بدست می آید.پیدا کردن شیب نزدیکترین خط متقاطع به خط مماس با استفاده از کوچکترین h در فرمول زیر حاصل میشود:



عکس پیدا نشد
بزرگنمایی خط مماس بر یک نقطه روی خط

در این فرمول h به عنوان کوچکترین تغییر متغیر x تعریف میشودو میتواند مقدار مثبت یا منفی اختیار کند. در این فرمول شیب خط با استفاده از نقاط و حاصل میشود.واضح است که در این روش فقط یک نقطه روی خط برای ما معلوم است و نیازی برای بدست آوردن نقطه دوم روی خط وجود ندارد.همچنین در این روش مشتق x ،حاصل حد زیر است:



ارتباط مشتق با علم فیزیک

مشتق نقش مهمی در تعریف برخی ار کمیتهای فیزیک حرکت دارد.ما با داشتن موقعیت اجسام بر حسب زمان میتوانیم سرعت و شتاب آنها را محاسبه کنیم.اگر ما از معادله مکان جسم بر حسب زمان مشتق بگیریم معادله سرعت بدست میآید و اگر از معادله سرعت مشتق گیری نماییم(مشتق دوم معادله مکان)معادله شتاب حاصل میشود.

نقاط بحرانی

نقاطی از تابع که به ازای آنها مشتق تابع تعریف نشده و یا برابر صفر باشد را نقاط بحرانی مینامند.اگر مشتق دوم در یک نقطه بحرانی مثبت باشد،آن نقطه مینیمم نسبی است.و اگر منفی باشدماکزیمم نسبی است،و اگر برابر صفر باشد ممکن است ماکزیمم و مینیمم نسبی نباشد.مشتق گرفتن و بدست آوردن نقاط بحرانی،اغلب ساده ترین راه برای پیدا کردن مینیمم و ماکزیمم نسبی است.(در بهینه سازی نیز این روش بسیار مفید است.به طور کلی مینیمم و ماکزیمم نسبی فقط میتوانند جزئ نقاط بحرانی باشند.

تجزیه و تحلیل نمودارها

مشتق ابزار مناسبی برای آزمودن نمودار تابع است. نقاطی از دامنه تابع که به ازای آنها مشتق اول برابر صفر شود میتوانند نقاط اکسترمم نسبی تابع باشند.البته باید توجه کرد که تمام نقاط بحرانی نقاط اکسترمم نسبی نیستند.برای مثال تابع یک نقطه بحرانی در x=0 دارد، ولی میتوان از نمودار تابع متوجه این نکته شد که تابع در این نقطه دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی نیست.
آزمون مشتق اول و آزمون مشتق دوم ، روش هایی را برای تشخیص نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی فراهم میکند.لازم به ذکر است در فضاهای چند بعدی نقاط اکسترمم را با استفاده از مشتقات جزئی بدست میآورند.

مشتق پذیری

تابع (y=f(x و نقطه a Df را در نظر می گیریم. اگر حد زیر وجود داشته باشد آنگاه آن را مشتق تابع f در نقطه a می نامیم و با نماد (f '(a نمایش می دهیم. بنابراین اگر حد فوق وجود داشته باشد تابع f را مشتق پذیر در نقطه a می نامیم.

مقدمه

برای اولین بار پیدا کردن خط مماس و سرعت یم جسم متحرک منشا پیدایش یکی از مفاهیم اساسی حسابان به نام مشتق شدند.

سیر تحولی و رشد

در کتاب های قدیمی با نمادهایی چون
برای نمایش مشتقی مواجه می شویم هرچند امروزه نیز کم و بیش از این نمادها برای نمایش مشتقی استفاده می شود ولی بطور کلی امروزه برای تعیین مشتق یک تابع از نماد معرفی شده در تعریف برای نمایش مشتق یک تابع مفروض استفاده می شود. به طور مثال اگر f و g توابعی حقیقی و مشتق پذیذ روی I باشند و داشته باشیم:


برای مشتق هر یک از توابع پارامتری فوق داریم:

که خارج قسمت dy/dx هعمان مشتق y نسبت به x است پس:

تمام نمادها معرض شده فوق بیانگر یک مفهوم به نام مشتق می باشند.

نقش و تاثیرش در زندگی

به طور کلی می توان گفت مشتق برای تعیین آهنگ تغییرات پدیده های مختلف در زندکی روزمره ما نقش اساسی و بدون انکار دارد. برای مثال در مهندسی سد یا پل سازی یا حتی الکترونیک و ساختمان سازی برای تعیین شیب خطوط مماس با مشتق و کاربرد آن سروکار داریم. یا مثلا در فیزیک برای تعیین سرعت متوسط یا سرعت لحظه ای یا شتاب یک جسم متحرک با مشتق و تعریف آن سروکار داریم.

ساختار یا ساختمان

دقت می کنیم که دستور ارائه شده در تعریف مشتق ، مقدار مشتق را در هر نقطه به ما می دهد نه تابع مشتق. برای بدشت آوردن تابع مشتق باید از قوانین مشتق پیروی کنیم. به این ترتیب اگر تابع f در نقطه x=a مشتق داشته باشد می گوییم f در x=a دارای مشتق است. و اگر تابع f در تمام قلمرو خود دارا مشتق باشد تابع f را در هر نقطه از قلمروش مشتق پذیر می نامیم.
مکانیزم کار:
(1) اگر تابع (y=f(x روی I مشتق پذیر باشد، آنگاه 'f را مشتق مرتبه اوب می گوییم.
(2) در صورتی که '('f ) وجود داشته باشد آنرا مشتق مرتبه دوم می نامیم و با ''f یا (f(2 نمایش می دهیم.
.
.
.
(n) در صورتی که '(fn-1) وجود داشته باشد آن را مشتق مرتبه n ام تابع f می نامیم و با (f(n نمایش می دهیم.
در برخی موارد f را با f(0) ' ، f را با (f(1 و f را با (f(2 و ... نشان می دهند. همین طور همچنانکه f ' را df/dx و f را با نشان می دهیم، f(n) را نیز به صورت می توان نشان داد. برای بدست آوردن تابع مشتق توابعه برای توابع چند جمله ای مثل f(x)=axn بصورت f '(x)=a(n)xn-1 عمل می کنیم البته در نظر داریم که طرز کار مشتق برای توابع مثلثاتی ملزوم به داشتن روابطی خاص در مثاثات است که درقوانین مربوط به مشتق توابع مثلثاتی قابل بحث است.همین طور است برای توابعی بصورت مرکب ، خارج قسمت یا حاصل ضرب.

ارتباط با سایر مباحث

  • فیزیک: فرض کنیم جسمی را از بالای برجی از حالت سکون رها می کنیم با در دست داشتن معادله مکان جسم در لحشه پرتاب و مشتق گیری از آن می توانیم سرعت جسم را در هر لحظه دلخواه محاسبه کنیم و همین طور با مشتق گیری از معادله سرعت ، شتاب جسم را در هر لحظه می توانیم محاسبه کنیم. در الکترونیک نیز روند به همین ترتیب است
  • همانطور که ذکر شد مفهوم مشتق یکی از مفاهیم اساسی حسابان است در زمینه های گوناگونی از علوم کاربردی ، علوم انسانی و علوم نظری کاربرد دارد.

کاربردها

  • یکی از موارد کاربردی مشتقات اول و دوم شرط مماس دو تابع y=f(x) و y=g(x) در نقطه ای به طول x0 است به طوری که در ایتن صورت باید مشتقات مرتبه اول و دوم آنها به ازای آن نقطه برابر باشند.
  • تعیین نقاط اکسترمم یک تابع
  • تعیین نقاط بحرانی و عطف یک تابع
  • صعودی یا نزولی بودن تابع در بازه های مشخصی با استفاده از علامت مشتق اول
  • تعیین تقعر یا تحدب توابع
  • خطوط تقارن و مرکز تقارن منحنی یک تابع
  • تعیین مجانب های یک منحنی
  • در نهایت یکی از مهمترین کاربردهای مشاق قضایای رول و مقدار میانگین است که در ریاضیات از اهمیت ویژه ای برخوردار است.
+ نوشته شده در  پنجشنبه هفتم آبان 1388ساعت 22:0  توسط اردوان جلیلی  |